Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a...

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的前三项a1，a2，a3； （Ⅱ）求证：数列{an-1}为等比数列，并求出{an}的通项公式．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵Sn=2an+n（n∈N*）．
∴a1=S1=2a1+1，
解得a1=-1，
S2=-1+a2=2a2+2，
解得a2=-3，
S3=-4+a3=2a3+3，
解得a3=-7．
（Ⅱ）证明：∵Sn=2an+n．
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-1．
两式相减可得，Sn-Sn-1=2an-2an-1+1
即an=2an-2an-1+1
∴an-1=2（an-1-1）
∵n=1时，S1=2a1+1
∴a1=-1，a1-1=-2
∴数列{an-1}是以-2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an-1=-2n，
∴an=1-2n．