Question

双曲线的多个定义

Answer 1

双曲线的四种定义
双曲线第一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

【例1】设圆C1:(x+√5)2+y2=4与圆C2：（x-√5)2+y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切．求动圆C的圆心轨迹L的方程；
【分析】（1）设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．
【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），半径为r，
则|MC1|＝r+2，|MC2|＝r﹣2，
∴|MC1|﹣|MC2|＝r+2﹣r+2＝4＜|C1C2|＝2，
由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，b＝1，
双曲线的方程为：x2/4-y2=1(x≥2)；
【点评】通过圆与圆的位置关系，消除动圆半径后符合双曲线的定义，通过定义直接写出方程．

双曲线第二定义（统一定义）：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

【例2】设双曲线x2-y2/3=1的左右焦点为F1，F2．点P（6，6）为双曲线内部的一点，点M是双曲线右支上的一点，求|MP|+|MF2|/2的最小值．
【分析】设过M作准线的垂线MN，垂足为N，欲求|MP|+|MF2|/2的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值．
【解答】解∵双曲线方程为x2-y2/3=1，
∴a＝1，b=√3，c＝2，
可得离心率e＝2，
设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则|MF2|/|MN|=2，
∴|MN|=|MF2|/2，
∴|MP|+|MF2|/2＝|MP|+|MN|，
当且仅当M，N，P三点共线时|MP|+|MF2|/2的值最小，这个最小值为6-1/2=11/2．
【点评】求|MP|+|MF2|/2的最小值，通过圆锥曲线的统一定义将|MF2|/2转化为|MN|，点到直线垂线段最短．

双曲线第三定义（参数方程）：双曲线方程：x2/a2-y2/b2=1，可以看成：(x/a)2-(y/b)2=1。而且：sec2α-tan2α=1，所以x=asecα,y=btanα.
在以a、b为半径的圆上分别画出角α对应的asecα与btanα值对应的线段，以（asecα，btanα）为坐标点形成的轨迹即为双曲线。

以下视频来源于
解题的艺术

【说明】双曲线的参数方程不是高考范围内的内容，对比椭圆的参数作为了解。

双曲线第四定义（斜率积）：双曲线的两个顶点与双曲线上任意一点形成两条直线，两条斜率积为b2/a2。

【例3】已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2（A1，A2为双曲线C的两个顶点）的斜率之积KPA1.KPA2=1，求双曲线C的标准方程．
【分析】分类讨论，设出标准方程，确定双曲线的顶点坐标，利用斜率关系及点P的坐标，即可得到结论．
【解答】

【点评】知道斜率积结论，清晰知道解题思路，把斜率积转化成与a、b相关方程得解．

Answer 2

双曲线。
（1）定义①平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a（0<2a<|F1F2|）的点的轨迹。
②到定点煌距离和定直线的距离之比为e(e＞1).
(2)几何性质：
焦点：
顶点：
对称轴：x轴,y轴
离心率： e越大，开口越阔。
准线：
渐近线：
焦半径：双曲线上任意一点M与双曲线焦点 的连线段，叫做双曲线的焦半径。
焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：
焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
（其中 分别是双曲线的下上焦点）
（“左加右减，下加上减”，和抛物线记诀相反，和椭圆记诀同，但多了绝对值）
焦点弦： 过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 。
通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦．直接应用焦点弦公式得 ．

Answer 3

Answer 4

一般的，双曲线，字面意思是“超过”或“超出”，是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。

双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。