Question

关于高等数学的函数连续性

y= xsin(1/x) 当x不等于0 y=x平方xsin(1/x) 当x不等于0
0 当x=0 0 当x=0
解释这两个的可导性为什么不一样？
上面为两个分段函数，题目是求讨论在X=0处的连续性与可导性~
麻烦有详细的解答

Answer 1

因为是两个分段函数，而且是讨论在分段点X=0处的连续性与可导性，须知，对于分段函数在分段点处的连续性与可导性，要从连续性和可导性的定义来求才对。具体这样求：

①函数f(x)=xsin(1/x)， 当x不等于0，
f(x)=0， 当x=0。
Lim(X→0)xsin(1/x)=0，而且f(0)=0，
即满足连续性定义Lim(X→0)f(x)=f(0)，
所以，函数在分段点X=0处是连续的。
又，f′(0)=Lim(X→0)[xsin(1/x)-0]/[x-0]=
=Lim(X→0)sin(1/x)不存在，
所以，函数在分段点X=0处不可导。

②函数f(x)=x^2*sin(1/x)， 当x不等于0，
f(x)=0， 当x=0。
Lim(X→0)x^2*sin(1/x)=0，而且f(0)=0，
即满足连续性定义Lim(X→0)f(x)=f(0)，
所以，函数在分段点X=0处是连续的。
又，f′(0)=Lim(X→0)[x^2*sin(1/x)-0]/[x-0]=
=Lim(X→0)xsin(1/x)=0存在，
所以，函数在分段点X=0处是可导的。

Answer 2

用求导的定义来回答，按求导定义把在0点处的导数极限形式写出
求导lim(x->0) x*sin(1/x)/x=lim(x->0) sin(1/x)= 不存在，
求导lim(x->0) x^2*sin(1/x)/x=lim(x->0) x*sin(1/x)=0 存在（因为无穷小量*有界量）；
关键在于明确求导的定义，在讨论求导的时候要注意多除一个x!
所以两个可导性不一样，就是因为在x^2中，除去一个x，还有另外的一个x牵制着sin(1/x) 这个没有极限却有界的家伙，而在x中，除去一个x，就没有放任sin(1/x)自流了，所以自然是不存在极限的，而连续性都成立的原因是因为，讨论连续的时候不需要多除一个x，所以两个函数都有x牵制着，所以都是连续的。

Answer 3

最好把题目写清楚点。

第一个函数
根据导数定义
函数在x=0点导数为
lim[xsin(1/x)-0]/x=limsin(1/x) (x趋向0）
x趋向0时，sin(1/x)是个不确定的值，所以这个函数在x=0处不可导

第二个函数
根据导数定义
函数在x=0点导数为
lim[x^2sin(1/x)-0]/x=limxsin(1/x) (x趋向0）
x趋向0时，xsin(1/x)=0,故函数在0点可导，导数为0

Answer 4

我是这样理解的
y= xsin(1/x) 当x不等于0 y=x平方xsin(1/x) 当x不等于0
当x=0 f(x)=0 当x=0 h(x)=0
题目是求讨论在X=0处的连续性与可导性~
左边的函数 ，根据连续性定义 在非0域上都是连续 可导的，在lim x趋向0时，
f(x)根据夹逼定理 把sin部分放缩到-1 1上 都是0 所以函数连续，y= xsin(1/x) 求导以后 y=xcos(1/x)lnx+sin(1/x) x趋向正0的时候 这个是无解的
，所以不可导。
同理，右边的一样讨论，连续可导

Answer 5

记住连续性和可导性的本质就可以啦。。。连续，某点的左极限=右极限=该点的函数值 可导根据其定义判断即可，当然也是通过求极限来判断，左右导数存在且相等即可！！ 做题目抓住这两点，应该就不会有多大问题啦！ 虽然是文字描述，还是希望你认真看看，帮到你！