一道九年级数学几何题
如图,在正方形ABCD中,M是AB边上任意一点,MN⊥MD,MN=MD,E为AB延长线上一点.(1)求证:BN平分∠CBE(2)若将条件MN=MD变为结论,而BN平分∠C...
如图,在正方形ABCD中,M是AB边上任意一点,MN⊥MD,MN=MD,E为AB延长线上一点.
(1)求证:BN平分∠CBE
(2)若将条件MN=MD变为结论,而BN平分∠CBE变为条件,是否仍成立?
(3)若将MN⊥MD变为结论,而BN平分∠CBE变为条件,是否仍然成立?
画得不好,请见谅。
相关数学符号:
三角形:△
平行:‖
垂直:⊥
相似:∽
全等:≌
约等于:≈
圆:⊙
角:∠
度:°
平方:²
立方:³
圆周率:π
因为:∵
所以:∴
根号:√ (根号下的内容请用括号扩起来)
加:+
减:-
叉乘:×
点乘:·
除:÷
如果题目中要用到上面的数学符号,无法打出来时,可从上面复制。
【请说明解题步骤,谢谢!】 展开
(1)求证:BN平分∠CBE
(2)若将条件MN=MD变为结论,而BN平分∠CBE变为条件,是否仍成立?
(3)若将MN⊥MD变为结论,而BN平分∠CBE变为条件,是否仍然成立?
画得不好,请见谅。
相关数学符号:
三角形:△
平行:‖
垂直:⊥
相似:∽
全等:≌
约等于:≈
圆:⊙
角:∠
度:°
平方:²
立方:³
圆周率:π
因为:∵
所以:∴
根号:√ (根号下的内容请用括号扩起来)
加:+
减:-
叉乘:×
点乘:·
除:÷
如果题目中要用到上面的数学符号,无法打出来时,可从上面复制。
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4个回答
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由N往AE引垂线NF,交AE于F
∵DM⊥MN
∴∠NME+∠AMD=90°
∴∠NME=∠ADM
在△ADM与△FMN中
∵DM=MN,∠ADM=∠FMN,∠DAM=∠MFN=90°
∴△ADM≌△FMN
∴AM=FN,AD=FM
∵AD=AB=AM+BM=FM=BM+BF
∴AM=BF=FN
∴△BFN是等腰Rt△
∴∠NBF=45°=1/2∠CBE
∴BN平分∠CBE
________________________________________________
若题目按(2),(3)那样变化,命题亦成立
(2)只需由△BFN是等腰Rt△推出BF=FN
再由DM⊥MN推出△ADM∽△FMN
FN:AD=(FN+BM):(AD+BM)
计算得FN=AD,也就是两三角形全等,DM=MN
(3)△BFN是等腰Rt△推出BF=FN
DM=MN,由勾股定理
AD²+(AD+BE)²=FN²+(FN+BM)²
计算得AD=FN,推出△ADM≌△FMN,∠ADM=∠FMN
∠FMN+∠AMD=90°,DM⊥MN
∵DM⊥MN
∴∠NME+∠AMD=90°
∴∠NME=∠ADM
在△ADM与△FMN中
∵DM=MN,∠ADM=∠FMN,∠DAM=∠MFN=90°
∴△ADM≌△FMN
∴AM=FN,AD=FM
∵AD=AB=AM+BM=FM=BM+BF
∴AM=BF=FN
∴△BFN是等腰Rt△
∴∠NBF=45°=1/2∠CBE
∴BN平分∠CBE
________________________________________________
若题目按(2),(3)那样变化,命题亦成立
(2)只需由△BFN是等腰Rt△推出BF=FN
再由DM⊥MN推出△ADM∽△FMN
FN:AD=(FN+BM):(AD+BM)
计算得FN=AD,也就是两三角形全等,DM=MN
(3)△BFN是等腰Rt△推出BF=FN
DM=MN,由勾股定理
AD²+(AD+BE)²=FN²+(FN+BM)²
计算得AD=FN,推出△ADM≌△FMN,∠ADM=∠FMN
∠FMN+∠AMD=90°,DM⊥MN
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(1)过N作NP⊥BE交BE于P,∵MN⊥MD,∴∠DMN=90°,∴∠DMA+∠NME=90°
又∵∠DMA+∠MDA=90°,∴∠NME=∠MDA,又∵MN=MD,∴△AMD≌△PNM(AAS)
∴AM=PN,AD=PM,又∵AD=AB,∴PM=AB,∴AM=BP,∴BP=PN,∴△BPN为等腰直角三角形,∴∠NBE=∠NBC=45°,即BN平分∠CBE。
(2)在AD上取一点P,使AP=AM,所以PD=BM,同时∠NME=∠MDA,又因为BN平分∠CBE,所以∠MBN=135°,又因为∠APM=45°,所以∠DPM=135°,所以△DPM=△MBN(ASA),所以MN=MD
(3)和第二问类似,也要证△DPM=△MBN,不过要用SSA,之后得到∠NME=∠MDA,并证出MN⊥MD
又∵∠DMA+∠MDA=90°,∴∠NME=∠MDA,又∵MN=MD,∴△AMD≌△PNM(AAS)
∴AM=PN,AD=PM,又∵AD=AB,∴PM=AB,∴AM=BP,∴BP=PN,∴△BPN为等腰直角三角形,∴∠NBE=∠NBC=45°,即BN平分∠CBE。
(2)在AD上取一点P,使AP=AM,所以PD=BM,同时∠NME=∠MDA,又因为BN平分∠CBE,所以∠MBN=135°,又因为∠APM=45°,所以∠DPM=135°,所以△DPM=△MBN(ASA),所以MN=MD
(3)和第二问类似,也要证△DPM=△MBN,不过要用SSA,之后得到∠NME=∠MDA,并证出MN⊥MD
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(1)证明:过N点作BE的垂线NF交BE于F
∵DM⊥MN 且DM=MN ∴∠AMD+∠NMF=90°
又∵∠NMF+∠MNF=90°
∴∠AMD=∠MNF
又∵∠DAM=∠MFN=90°,DM=MN
∴由角角边定理可以得出结论:△DAM≌△MFN
∴DA=MF=AB,AM=FN;
∴DA-AM=AB-AM=MB;∴AM=AB-MB=MF-MB=BF;
∴FN=BF,又∵NF⊥BE
∴△BNF为等边直角三角形,∴∠NBF=45°,
∴∠NBC=90°-∠NBF=45°=∠NBF
∴BN平分∠CBE
在其他条件成立的情况下,(2)(3)结论同样成立
∵DM⊥MN 且DM=MN ∴∠AMD+∠NMF=90°
又∵∠NMF+∠MNF=90°
∴∠AMD=∠MNF
又∵∠DAM=∠MFN=90°,DM=MN
∴由角角边定理可以得出结论:△DAM≌△MFN
∴DA=MF=AB,AM=FN;
∴DA-AM=AB-AM=MB;∴AM=AB-MB=MF-MB=BF;
∴FN=BF,又∵NF⊥BE
∴△BNF为等边直角三角形,∴∠NBF=45°,
∴∠NBC=90°-∠NBF=45°=∠NBF
∴BN平分∠CBE
在其他条件成立的情况下,(2)(3)结论同样成立
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过N点作NF⊥AE交于F
在△ADM和△NMF中,∵∠MDA=∠NMF=90°-∠AMD,且MD=MN
∴△ADM≌△NMF ∴AM=NF MF=AD
∴NF=BF 则∠NBF=45°∴BN平分∠CBE
(2)、(3)也成立,证法一个思路。
在△ADM和△NMF中,∵∠MDA=∠NMF=90°-∠AMD,且MD=MN
∴△ADM≌△NMF ∴AM=NF MF=AD
∴NF=BF 则∠NBF=45°∴BN平分∠CBE
(2)、(3)也成立,证法一个思路。
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