Question

请教一道九上数学几何题

已知，AD是直角三角形ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连结BE，过点C作CF垂直BE于点F，
交AB、AD于M、N两点。
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+5/4m2=0的两个实数根，求证：AM＝AN；
（2）若AN=15/8，DN=9/8，求DE的长
（3）在（1）条件下，S三角形MAN：S三角形ABE＝9：64，且线段BE与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两实数根，求BC的长。

Answer 1

（1）解：第一问只要抓住deta即可，因为方程x2-2mx+n2-mn+5/4m2=0有两实数根，故deta需大于等于0，又deta=4m2-4（n2+5/4m2-mn）=—（m-2n）2小于等于0；故deta必等于0；则有两实数根相等，即AM=AN；
（2）解：因为作图不方便，就不做了；相信仔细看能看懂的，在图中，三角形CDN，三角形CFB，三角形BDE，三角形FNE都相似，证明很简单，就不说明了；则有，DN/CD=BD/DE；又有定理，AD2=BD *CD，用三角形相似也可很容易得到；故有DN*DE=BD*CD=AD2，又AD=AN+DN=3；
故得DE=8；
（3）由于AM=AN，则角AMN=角MNA，又对顶角相等，知角BMF=角DNC，故有三角形BFM相似于三角形CDN，又三角形CDN相似于三角形BDE，有三角形BFM相似于三角形BDE，则角EBA=角AEB
，得AE=AB；过M点做AN的高交AN于点G，则有MG/BD=AM/AB，MG=AM*BD/AB；故S三角形AMN
=1/2MG*AN，S三角形ABE=1/2BD*AE；故有S三角形AMN：S三角形ABE=AM*AN/AB*AE=9/64;又AM=AN，AB=AE；则AN/AE=3/8；又有第2问可知DN/AD=AD/DE=(AN+DN)/(AD+AE)=AN/AE=3/8;
故可设，DN=9x，AN=15x，AE=40x，则，DE=DN+AN+AE=64x；BD=32x；CD=18x；BC=BD+CD=50x；由BC/BF=BE/BD,可得BF=BC*BD/BE=10根号5x；又由韦达定理有
BE+EF=16/5k，BE*EF=2k2+1；得BF=BE-EF=根号56/25k2-4.
解得：BC=28/125k2-2/5;
最后给的那个破一元二次方程太令人蛋疼；