Question

函数图像求最值

Answer 1

举例如下，例如计算y=x+√(1-x)在区间[-1,1]上的最值。

方法一：换元法

设√(1-x)=t，则x=1-t^2.

代入方程得：

y=1-t^2+t

=-(t^2-t+1/4)+5/4

=-(t-1/2)^2+5/4

方程看成为t的二次函数，开口向下，可知：

当t=1/2时，此时x0=3/4，y有最大值。

即ymax=5/4。

最小值在定义域两个端点中距离t对应的x最远处取得，

即ymin=f(-1)=-1+√2。

方法二：导数法

∵y=x+√(1-x)

∴y'=1-1/2*√(1-x)=[2√(1-x)-1]/2√(1-x)。

令y'=0，则：2√(1-x)-1=0.

解方程得到x0=3/4.

分析导数y'在定义域上的符号如下：

(1)当x∈[-1，3/4]时，y'≥0，为增函数；

(2)当x∈[3/4，1]时，y'≤0，为减函数。

则当x=x0时，y有最大值，

即ymax=f(x1)=5/4。

又y(-1)=-1+√2,y(1)=1;

即ymin=-1+√2。

方法三：平方法

∵y=x+√(1-x)

∴y-x=√(1-x)，两边平方得到：

(y-x)^2=1-x

1x^2-(2y-1)x+y^2-1=0,对x的方程有解，则：

判别式△=(2y-1)^2-4(y^2-1)≥0,

即：y≤5/4.

得ymax=5/4。

又y(-1)=-1+√2,y(1)=1;

即ymin=-1+√2。