Question

已知A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，用初等变换证明r(AB)≤min(r(A),r(B))，写出详细过程？

Answer 1

因为AB可以看成是A的列向量的线性组合所成向量组，当然有r(AB)<=r(A)。
这样r(AB)=r(AB)^T=r(B^T A^T)<=r(B^T)=r(B)。得证。

或者考虑方程组ABX=0与BX=0，显然BX=0的解都是ABX=0的解，故n-r(B)<=n-r(AB)，即r(AB)<=r(B)。以下可以同上方法

还可以通过分块矩阵的初等变换，直接计算。
首先你要明确一点，矩阵A的秩肯定小于等于行数与列数当中较小的那个，也就是说R（A）小于等于min（m，n）；且R（B）小于等于min（n，s）。且AB=mxs，即R（AB）小于等于min（m，s），那么你仔细想一下们是不是肯定有R（AB）小于等于
min（R（A），R（B））。
因为AB=0，所向量都是AX=0的解（1）若秩(A)=n（即列满秩），则AX=0只有零解，所以秩(B)=0，满足条件；（2）若秩(A)<n，不妨设秩(A)=r，则AX=0的基础解系含有n-r个向量，从而秩(B)≤n-r（原因就是B的每一列向量都是AX=0的解），所以r(A)+r(B)≤n