Question

初等矩阵的行列式为零对不对

Answer 1

初等矩阵的行列式为零，是对的。

初等行变换=左乘（可逆）初等矩阵。于是初等行变换保秩，并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0。这样，A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n，也即A的秩小于n。

|A|=0的充分必要条件。

<=>A不可逆。

<=>A的列（行）向量组线性相关。

<=>R（A）<n。

<=>AX=0有非零解。

<=>A有特征值0。

行列式在数学中

是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

Answer 2

| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 2 0 |
这个就不等于0。
初等矩阵有三类：一种是基本矩阵一行（列）自乘，一种是两行（列）交换，最后一种是将一行（列）的k倍加到另一行（列）上。
一般用P表示初等矩阵，（注意下面都是左乘的情况，如果右乘则将“意思是”后面的j和i互换，同时将行改为列）
自乘的表示为P（i（k））：意思是将第i行乘以k倍。
交换表示为P（j ， i）：意思是将第j行与第i行交换。
最后一种表示为P（j，i（k））：意思是将第i行的k倍加到第j行上。
综上，可以看出来，除了在自乘的极少数情况下，初等矩阵的行列式基本不为0.

所以，对于自乘的初等矩阵，其行列式值为K。
对于交换的初等矩阵，由于P（j，i）P（j，i）= 单位矩阵（这里用的是矩阵可逆） ，其行列式值为1或者-1.
对于最后一种，要么是上三角，要么是下三角，所以行列式一定为1.

Answer 3

初等矩阵的定义：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵
初等变换有三种：行变换、倍乘、倍加

行变换会变号

倍乘会扩大k倍
倍加不会改变