Question

高三导数题

设函数f(x)=|1-1/x|，x>0
①证明：当0<a<b且f(a)=f(b)时，ab>1;
②点P(x0,y0)(0<x0<1)在曲线y=f(x)上，求曲线上在点P处的切线与x轴，y轴正向所围成的三角形面积表达式（用x0表示）

要写清思路~谢~

Answer 1

将函数改写成分段函数f(x)=1/x-1(x<1)
=1-1/x(x≥1)
1.显然a∈(0,1）b ∈(1,+∞)
故f(a)=1/a-1
f(b)=1-1/b
由f(a)=f(b)
1/a+1/b=2
因a>0,b>0
由基本不等式；
(1/a+1/b)/2>√1/ab
可得ab>1
2.因0<x0<1，故f'(x)=-1/x^2 (0<x<1)
故k=f'(x0)=-1/x0^2
且yo=1/x0-1①
由点斜式列出切线方程：y-y0=1-/x0^2(x-x0)
整理得:y=x/(-x0^2)+1/x0+y0
可知该直线与x\y轴交点分别为(x0+x0^2y0,0),(0,1/x0+y0)
故三角形面积S=1/2*(x0+x0^2)(1/x0+y0)
=(x0+y0)^2/2②
将①代入②：
S=(x0^2-x0+1)/2x0^2
不明白随时问我！