Question

已知圆C:x+y2-25=0，求过点P(3，4)且与圆C相切的直线方程？

Answer 1

将点P的坐标代入圆C方程中：
3² + 4² - 25=9 + 16 - 25=0
∴点P在圆C上
则设过点P的直线方程为y-4=k(x-3)
即：kx - y + 4 - 3k=0
由已知：圆心是(0，0)，圆半径是5
∵直线与圆C相切
∴圆心到直线的距离d=|k·0 - 0 + 4 - 3k|/√k²+1²=5
|4 - 3k|=5√k²+1
两边平方：(4 - 3k)²=25(k²+1)
16 - 24k + 9k²=25k² + 25
16k² + 24k + 9=0
(4k + 3)²=0，则k=-3/4
∴直线方程为y - 4=(-3/4)(x - 3)
即：3x + 4y - 25=0

Answer 2

因为圆的方程是x²+y²=25，所以点P（3，4）就是在圆上，所以切线只有一条。且垂直于直线OP，因为直线OP的斜率是4/3，所以切线的斜率是-3/4，设直线是y=-3/4x+b，带入点P就是-9/4+b=4，b=4+9/4=6.25，切线就是y=-3x/4+6.25