Question

什么是特征根?

Answer 1

定义　
　特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法.
　特征根法也可用于求递推数列通项公式,其本质与微分方程相同.
　r*r+p*r+q称为对递推数列:a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程.
方法　
　对微分方程：
　设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1,r2.
　1 若实根r1不等于r2　
　y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
　2 若实根r1=r2　　
y=(c1+c2x)*e^(r1x)　　
3 若有一对共轭复根（略）　
　对递推数列：如何用特征方程求数列的通项?
　数列：满足An+2 + s*An+1 + t*An=0
　则其对应的特征方程为：x^2 +sx+t=0 ,设其两根为α、β
　1).当α≠β时,An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)
　2).当α＝β时,An=(kn+m)*α^(n-2)
其中k、m的值的求法,用A1、A2的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
　(1).数列满足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通项An
特征方程为 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2
设An=(kn+m)*α^(n-2)　,
　所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0
　所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)
　(2).裴波那契数列满足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通项An
特征方程为 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/
设An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)　,则有
　k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1
解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β
所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n　　
1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n　
　其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定.
(1) c1r1+c2r2=a;　
　(2) c1r1^2+c2r2^2=b　　
2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r　　an=(c1+nc2)r^n　
　其中常数c1,c2由初始值唯一确定.
　(1) a=(c1+c2)r　
　(2) b=(c1+2c2)r^2　　
一类重特征根对方程解的简便解法　
　对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.