Question

若实数a,b,c满足a+b+c=0，abc=1,求证：a，b，c中至少有一数不小于2/3.

Answer 1

楼上的回答就直接来个是二次方程的根来得有点迁强，别人看不懂，因此本人来解释一下。

因为abc=1，所以c=1/ab，把c代入a+b+c=0得到
a+b+1/ab=0 两边同乘以a得到
a^2+ba+1/b=0

由题意知a，b，c满足a+b+c=0；因此a,b也必须要满足a^2+ba+1/b=0，所以这个以a为未知数的方程必须有解，也就是△=b^2-4/b≥0，然后整理得到

b^3≥4>3.375 //3.375就是1.5的3次方，自已可以算一下。
所以b>1.5

因此楼主的题应该是a,b,c中至少有一个数不小于3/2不是2/3

Answer 2

反证法从题目中可知a,b,c中必然有两个负数一个正数不妨设a>0,b<0,c<0反证令3/2>a因为b+c=-a,bc=1/a，联想到韦达定理令b,c为方程x^2+ax+1/a=0的两根因为b,c为实数，该方程必有解所以Δ=a^2-4*1/a≥0所以a^3≥4又因为27/8>a^3且4>27/8所以假设不成立所以三个数中必定有一个大于3/2

Answer 3

证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数'不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,�bc=1/a;

于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数，
因此上述方程的判别式

△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4

a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
所以a,b,c中必有一个大于1.5