Question

抛物线C1:y1=x^2+2x和C2:y2=-x^2+a，若直线l同时是C1和C2的公切线.当a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切

a取什么值时，C1和C2有且仅有1条公切线。求出其方程。 急求！拜托了！！！！

Answer 1

C1开口向上，以（－1，－1）为顶点
C2开口向下，以（0，a）为顶点

做图，可知C1,C2公切线有两条，斜率一为正一为负（有可能俩正）。

要求仅有一条公切线，则两公切线重合，两抛物线相切。

即两抛物线有且仅有一个交点。

即 方程 Y=X²+2X=-X²+A 中，X有且仅有一个解。

2X²+2X=A
X²+X+1/4=A/2+1/4
(X+1/2)²=(2A+1)/4

有且仅有一个解，则(X+1/2)²=(2A+1)/4＝0 A＝-1/2

即A＝-1/2时，两抛物线有且仅有一条公切。

设切线为Y=BX+C
与两曲线有只有一个交点，
BX+C=X²+2X
BX+C=-X²-1/2
都只有一个解
有
[X+(2-B)/2]²=C+(2-B)²/4=0
[X+B/2]²=-1/2-C+B²/4=0

C=-(2-B)²/4=B²/4-1/2, 中 ，B只有一个解

-B²+4B-4=B²-2; 2B²-4B+2=0; 2[B-1]²=0, B=1

C=-1/4

切线方程为Y=X-1/4