Question

已知xyz为整数 x的平方+y的平方=z的平方 证明601xyz

Answer 1

因为 x^2+y^2=z^2,
所以,不妨设（x,y,z）=1,且x、y一个奇数,一个偶数,不妨设x为偶数,
所以,x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y),(x/2)^2=[(z+y)/2]*[(z-y)/2],
因此,存在整数m和n使 (z+y)/2=m^2,(z-y)/2=n^2,x/2=mn,
即 x=2mn,y=m^2-n^2,z=m^2+n^2,其中（m,n)=1,且m、n一奇一偶.
显然4|xyz.
若m、n至少有一个被3整除,则3|xyz,若m、n均不能被3整除,则 3|yz,因此,总有 3|xyz；
若m、n至少有一个被5整除,则5|xyz,若m、n均不能被5整除,则 5|yz,回此,总有 5|xyz；
所以 xyz 能被 3*4*5=60整除,即 60|xyz.
（注：yz=m^4-n^4,若m、n均不能被3整除,则 yz=(3k±1)^4-(3p±1)^4=3M是3的倍数；
若m、n均不能被5整除,则由费马小定理,yz=m^4-n^4≡1-1≡0（mod 5）,即 yz是5的倍数.）