Question

函数的有界性是什么意思？

Answer 1

函数的有界性

定义:若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

注意:当一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数。当一个函数有界时，它的上下界不唯一。由上面定义可知，任意小于m的数也是这个函数的下界，任意大于M的数也是这个函数的上界。

另一定义是:存在常数M>0，使函数y=f(x).容易证明这两种定义是等价的

例题:函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.x∈D满足∣f(x)∣≤M,x∈D。

如何判断一个函数是否有界 就要看它是否无限趋近于一个常数，如是则有界，否则无界。

从上边趋近则有下界， 从下边趋近则有上界。

以上内容参考百度百科-有界性

Answer 2

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。
一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如:y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。
sinx，cosx，sin(1/x），cos（1/x），arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx是常见的有界函数。
函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。