Question

如何证明方程x5+3X-2=0只有一个正根？

Answer 1

证：\x0d\x0a设函数f(x)=x⁵+3x-2，函数是初等函数，在定义域上连续。\x0d\x0ax取任意实数，函数f(x)恒有意义，函数的定义域为R。\x0d\x0af(x)=5x⁴+3\x0d\x0a偶次方项恒非负，x⁴≥0，f(x)=5x⁴+3≥3>0\x0d\x0a函数f(x)在R上单调递增，至多有一个零点，方程x⁵+3x-2=0至多有一个实数根。\x0d\x0a令x=0，得f(x)=0+0-2=-2<0\x0d\x0a令x=1，得f(x)=1+3-2=2>0\x0d\x0a函数在区间(0，1)上有实根，又函数f(x)在R上至多有一个实数根，因此区间(0，1)上的根为方程的唯一实根。此实数根∈(0，1)，此实数根>0，是正根。\x0d\x0a综上，得：方程x⁵+3x-2=0有唯一实数根，为正根。\x0d\x0a\x0d\x0a解题思路：\x0d\x0a①、设函数f(x)=x⁵+3x-2。\x0d\x0a函数是初等函数，在定义域上连续，定义域为R，函数在R上连续。\x0d\x0a②、分析函数的单调性。函数是单调递增函数，至多有一个零点，方程至多有一个实数根。\x0d\x0a③、分析零点所在区间，题目要证的是正根，因此选取的区间应该是正数区间。\x0d\x0a④、找出函数唯一零点所在区间，即为方程唯一正根所在区间。