Question

请问∫dx/√x²±a²的推导过程是什么

Answer 1

这个问题需要进行分式分解，可以使用三角代换或者模拟三角代换的方法进行求解。
一、三角代换法：
假设∫dx/√x²±a²的被积函数的形式，可以写成以下形式：
∫dx/√x²±a² = ∫dx/[(a² * tan²θ + a²)(1 + tan²θ)] = ∫secθdθ/a
其中θ=arctan(x/a)
根据三角函数的定义，我们可以得到：
tanθ = x/a, secθ = √(x²+a²)/a
代入到积分式中，得到：
∫dx/√x²±a² = 1/a * ∫secθdθ
二、模拟三角代换法：
也可以使用模拟三角代换的方法进行求解，假设∫dx/√x²±a²的被积函数的形式，可以写成以下形式：
∫dx/√x²±a² = 1/√(a²) * ∫dx/√(x²±a²)
令x=±a*tanθ，得到：
dx = a * sec²θdθ
x²+a² = a²sec²θ
将x和dx代入到积分式中，得到：
∫dx/√x²±a² = ∫a * sec²θdθ/√(a²sec²θ) = ∫secθdθ/a
这两种方法得到的积分结果是一样的，是∫dx/√x²±a²=1/a*ln│x+√(x²±a²)│+C。其中C为常数。

Answer 2

∫dx/√(x^2±a^2)
let
x=atanu
dx=a(secu)^2 du
∫dx/√(x^2+a^2)
=∫a(secu)^2 du/(asecu)
=∫secu du
=ln|secu+tanu| + C'
=ln| √(x^2+a^2)/a+x/a| + C'
=ln| √(x^2+a^2)+x| + C
let
x=asecu
dx=asecu.tanu du
∫dx/√(x^2-a^2)
=∫asecu.tanu du/(atanu)
=∫secu du
=ln|secu+tanu| +C'
=ln|x/a+√(x^2-a^2)/a| +C'
=ln|x+√(x^2-a^2)| +C