Question

证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化.？

Answer 1

这道题在不同的阶段可以有不同的方法.
如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的).
由A²-A = 2E,知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式.
注意到该多项式没有重根,而最小多项式必为化零多项式的因式,可知A的最小多项式没有重根.
因此A可对角化.
如果是没学Jordan标准型,可以用:
矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数.
这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,
代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数).
因为属于不同特征值的特征向量线性无关,上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量.
由A²-A = 2E,知(A+E)(A-2E) = 0.
于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0,即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n.
-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E),而2的几何重数 = n-r(A-2E).
于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数
≥ -1的几何重数+2的几何重数
= n-r(A+E)+n-r(A-2E)
≥ n,
可知A没有-1,2以外的特征值,且-1和2的几何重数 = 代数重数,因此A可对角化.,4,原式可化为0.5A（A-E）=E，所以对于A，存在A^-1=A-E,满足A*A^-1=E，同理A^-1*A=E，所以A可逆，所以A可对角化,1,