Question

R是A上的自反关系，且当(a，b)∈R和(a，c)∈R时，必有(b，c)∈R，证明R是等价关系。

Answer 1

【答案】：[证明]首先证明R是对称关系。
由题设条件可知，当(a，b)∈R，(a，c)∈R时，必有(b，c)∈R，如果把条件中的c换成a，于是有：当(a，b)∈R，(a，a)∈R时，必有(b，a)∈R，由题设可知，R是自反的，所以(a，a)∈R，由此可见，当(a，b)∈R时，必有(b，a)∈R，所以R是对称关系。
其次证明R是传递关系。即证当(a，b)∈R，(b，c)∈R时，必有(a，c)∈R。
由于已证得R是对称关系，所以当(a，b)∈R，(b，c)∈R时，即有(b，a)∈R和(b，c)∈R。再由题设条件可知：(a，c)∈R，所以R是传递关系，因此也证明了R是等价关系。