Question

有一立体以长半轴a=10，短半轴b=5的椭圆为底，而其垂直于长轴的截面都是等边三角形，试求其体积．

Answer 1

【答案】：设椭圆长轴为x轴,短轴为y轴.则取一小段△x,则与x轴垂直的平面所截得立体的形状应该是一个 底面为等边三角形,且边长是2y,高是△x的三棱柱.∴△V=(1/2*2y*√3*y)*△x=√3*y^2*△x季dV=√2*y^2*dx由图形的对称关系可知所求旋转体在x轴正半轴的体积和在x轴负半轴的体积是相等的∴总体积为V=2∫√3*y^2*dx(上限为10,下限为0）又椭圆方程的参数形式为：x=10cosθy=5sinθ代入体积式子V=2∫√3*y^2*dx=∫√3*(5sinθ)^2d(10cosθ) (此时θ所对应的积分上下限分别是0,π/2)V=500√3∫(1-cosθ^2)d(cosθ)解定积分的∫(1-cosθ^2)d(cosθ)=2/3所以V=（1000√3）/3若不是很明白可以再探讨.