Question

若f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+2)=-f(x),当x属于(0,1)时,f(x)=2^x,f(log0.5 24)=

Answer 1

f(log0.5 24)=f(-log2 24)=-f(log2 24)=-f(3+log2 3)
又f(x+2)=-f(x),
所以f(3+log2 3)=-f(1+log2 3)=f(log2 3-1)
很明显0＜log2 3-1＜1
所以f(log2 3-1)=2^(log2 3-1)=3/2
所以f(log0.5 24)=-3/2

Answer 2

f(x+4)
=f[(x+2)+2]
=-f(x+2)
=f(x)

f(x+4)=f(x)
所以f(log0.5 24)
=f(log0.5 24+4)
=f(log0.5 24+log0.5 0.5^4)
=f(log0.5 24*0.5^4)
=f(log0.5 1.5)

log0.5 1.5
=lg1.5/lg0.5
=-lg1.5/lg2
=-log2 1.5
所以f(log0.5 24)=f(-log2 1.5)
奇函数
=-f(log2 1.5)
1<1.5<2
所以0<log2 1.5<1
所以原式=-2^(log2 1.5)=-1.5

Answer 3

解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以有f(-x)=-f(x),
同时又满足f(x+2)=-f(x)；
所以可以得到f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
即f(x+4)=f(x)=-f(-x-4),所以此奇函数也是周期为T=4的周期函数
当x的定义域取（0,1）时，有f(x)=2^x,
因为log0.5 32<log0.5 24<log0.5 16,即-5<log0.5 24<-4
所以-1<4+log0.5 24<0,所以0<-4-log0.5 24<1
所以f(log0.5 24)=f(4+log0.5 24)=-f(-4-log0.5 24)=2^(-4-log0.5 24)
=1/2^(4+log0.5 24)=(1/16)*24=3/2