Question

设函数f（x）具有二阶导数，g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x，则在区间[0，1]上（　　）。

A.当f′（x）≥0时，f（x）≥g（x）
B.当f′（x）≥0时，f（x）≤g（x）
C.当f″（x）≥0时，f（x）≥g（x）
D.当f″（x）≥0时，f（x）≤g（x）

Answer 1

【答案】：D
方法一：若熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可以直接做出判断，显然g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x是连结（0，f（0））（1，f（1））两点的直线方程，故当f″（x）≥0时，曲线是凹的，即在区间[0，1]上f（x）≤g（x）。
方法二：若不熟悉曲线在区间[a，b]上凹凸的定义，则可令F（x）＝f（x）－g（x）＝f（x）－f（0）（1－x）－f（1）x，则F（0）＝F（1）＝0，且F″（x）＝f″（x），故当f″（x）≥0时，曲线F（x）是凹的，从而F（x）≤F（0）＝F（1）＝0，即在区间[0，1]上F（x）＝f（x）－g（x）≤0，即f（x）≤g（x）。