Question

1平方加2平方加3平方加加加到n平方等于多少

Answer 1

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学桥纯中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。
设：S=12+22+32+…+n2

另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即

S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)

第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：

S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：

22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)

12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2

= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2

=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n………………………………………………………敏纤咐……..(3)

由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)

由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

= n(2n2+3n+1)

= n(n+1)(2n+1)

S= n(n+1)(2n+1)/ 6

亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)

以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由竖纤(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。

追问

如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面互相平行吗

追答

是的

追问

怎么判断有机物在水中的溶解度大小

追答

看它的亲水基团的数量

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请不要无限制追问

追问

常见的亲水基团有哪些，怎么具体判断