Question

一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力F=-k/r^2 的作用下，做半径为r的圆周运动，此质点速度

一质量为m的质点在指向圆心的平方反比力F=-k/r^2 的作用下，做半径为r的圆周运动，此质点速度为v=__若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机械能E为__

Answer 1

1.平方反比力为向心力故mv^2/r=-k/r^2，v=根号下-k/mr
2.动能1/2mv^2=-k/2r，势能求法：假设势能零点处另一静止相同质点受微扰向中心掉落到距离圆心r的过程，因其初状态静止于势能零点，故动能零，势能零，机械能零，过程只受平方反比力，其做功为该力在路径上的积分：-（积分符号，上r下∞）-k/r^2 dr=-（k/r-k/∞）=-k/r，式中第一个负号是因为力与位矢r反向。解积分过程应用了x^-1导数为-x^-2。故到达r处动能-k/r，机械能守恒得势能k/r。由于两质点相同，位置相同，所处力场相同，则势能相同。故最终得机械能=动能+势能=-k/2r+k/r=k/2r。

Answer 2

（1）由向心力的表达式：mv^2/r=F=-k/r^2 解得v=根号下-k/mr
(2) 由于质点除了圆周运动以外没有其他的运动，也就是说除了向心力之外没有其他的力。因此其重力势能为零。只有动能。所以E=1/2mv^2=-k/2r