Question

重积分与曲线积分有何区别和联系？

Answer 1

我把我以前答过的那篇文章拿出来了。

一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)
当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)
∫(a→b) dx = L(直线长度)
被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)
∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)
另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是
盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f²(x) dx
圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx
计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了
∫(α→β) (1/2)[A(θ)]² dθ = A(极坐标下的平面面积)

二重积分：有两个自变量z = f(x，y)
当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)
当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ

三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)
被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)
当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等
计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等
极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k

{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k

{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π

∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r²sin²φ drdφdθ

所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而
且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。
重积分能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。

又比如说，在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积，其中f(x) > g(x)
用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升级的二重积分，面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了

用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积？

一重积分(定积分)：向zox面投影，得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法
V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2

二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²
所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a²
V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的
= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2

三重积分：旋转体体积，被积函数是1，直接求可以了
柱坐标切片法：Dz：x² + y² = z
V = ∫∫∫(Ω) dxdydz
= ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy
= ∫(0→a²) πz dz
= π • [ z²/2 ] |(0→a²)
= πa⁴/2
柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a²
V = ∫∫∫(Ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz
= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr
= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)
= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]
= πa⁴/2
三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。

既然都说了这麼多，再说一点吧：
如果再学下去的话，你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易
学完求体积的公式，就会有求曲面的公式
就是「曲线积分」和「曲面积分」，又分「第一类」和「第二类」

当被积函数为1时，第一类曲线积分就是求弧线的长度，对比定积分只能求直线长度
∫(C) ds = L(曲线长度)
被积函数不为1时，就是求以弧线为底线的曲面的面积
∫(C) f(x，y) ds = A(曲面面积)

当被积函数为1时，第一类曲面积分就是求曲面的面积，对比二重积分只能求平面面积
∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大
∫∫(Σ) f(x，y，z) dS，物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等

而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要，而且是有"方向性"的，涉及向量范围了。