Question

解关于x,y,z的方程组

xy+yz+zx=1, 5x+8y+9z=12的所有实数解（x,y,z）为？
（2013年全国初中数学竞赛填空题）

Answer 1

用配方法.
∵ xy+yz+zx = 1, 5x+8y+9z = 12,
∴ 9 = 9xy+9z(x+y) = 9xy+(12-5x-8y)(x+y) = 12x+12y-5x²-4xy-8y².
按y的次数整理得8y²-4(3-x)y+(5x²-12x+9) = 0.
方便起见两边乘以2, 再关于y配方得:
0 = (4y-(3-x))²-(3-x)²+(10x²-24x+18)
= (4y-(3-x))²+(9x²-18x+9)
= (4y+x-3)²+9(x-1)².
由x, y为实数, 只有4y+x-3 = x-1 = 0, 解得x = 1, y = 1/2.
代回原方程解得z = 1/3.
故(x,y,z) = (1,1/2,1/3)是唯一实数解.

注: 易见经过代入消元后, 原方程组化为一个二元二次方程.
如果二元二次方程只有有限组实数解, 可以证明实数解唯一(二次曲线分类有关).
因此作为填空题, 如果可以直接猜出一组解, 就可以直接写答案.