Question

在△ABC中,若acosA=bcosB,试判断这个三角形的形状，在这个解题过程中，

这是怎么得来的？sinBcosB=sinAcosA
即sin2B=sin2A
所以A=B或2(A+B)=π

Answer 1

1. 三角形中的正弦公式  a/sinA = b/sinB 和 题中条件 acosA=bcosB 可得

   sinBcosB=sinAcosA ；

    

   2.sin(2A)=2sinAcosA

追问

sin2B=sin2A
所以A=B或2(A+B)=π这个呢，怎么推出来的？

追答

由sin2B=sin2A 可得
2A=2B 或者 2A+2B=π+2kπ 或者 2A=2B+2kπ
由于A和B都是三角形内角，所以0<A, B<π 且0<A+B<π .
这样就行了。

追问

sin2B=sin2A ，怎么得出这个的呢？2A+2B=π+2kπ，0<A+B<π .那么0<2（A+B）<2π .不是吗？不太懂，sin2B=sin2A 两个角相等，就得出他们两个角相加等于π吗？

追答

“sin2B=sin2A 两个角相等，就得出他们两个角相加等于π吗？”
不是。
注意是 2A=2B 或 2(A+B)=π
2(A+B)=π 是因为 在 2A+2B=π+2kπ 中k只能取0 （因0<2（A+B）<2π ）

追问

2(A+B)=π那这里的π是怎么得来的？2A+2B=0吗？又等于2A+2B=π？

追答

若sinx=siny，则有 x=y+2kπ 或 x+y=π+2kπ，这是一个很基本的结论。
你也可以这样看：
sinx-siny=0，根据和差化积公式
sinx-siny=2cos[(x+y)/2]·sin[(x-y)/2]，可得
cos[(x+y)/2]=0或sin[(x-y)/2]=0，即
(x+y)/2=π/2+kπ 或 (x-y)/2=kπ，也即
x+y=π+2kπ 或 x=y+2kπ