Question

求以椭圆x^2/25+y^2/9=1的长轴端点作为焦点 且经过（4根号2，3）的双曲线方程

Answer 1

解答：
椭圆x^2/25+y^2/9=1的长轴长为2*5=10
长轴端点为A(-5,0),B(5,0).
∴ 双曲线的焦点为A(-5,0),B(5,0).
设双曲线方程是x²/a²-y²/(25-a²)=1
过(4√2,3)
∴ 32/a²-9/(25-a²)=1
即 32(25-a²)-9a²=a²(25-a²)
即 (a²)²-66a²+32*25=0
即 (a²-16)(a²-50)=0
∴ a²=16或a²=50(舍)
∴ 双曲线方程是x²/16-y²/9=1

Answer 2

解：椭圆的长轴端点为F1(5,0),F2(-5,0)，即双曲线的焦点在x轴上，那么
设双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1
其中a^2+b^2=c^2=5^2=25
且点（4√2，3）满足双曲线，那么将点代入双曲线方程可得：
32/a^2-9/(25-a^2)=1
令a^2=t (0<t<25)
则有32/t-9/(25-t)=1
化简得：32(25-t)-9t=(25-t)t
即：t^2-66t+800=0
即：(t-50)(t-16)=0
解得：t=50(舍去)或t=16
那么双曲线的方程为：x^2/16-y^2/9=1
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Answer 3

易知椭圆焦点在x轴上，长半轴为5
则双曲线的焦点也在x轴上，半焦距为5
令双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）
则a^2+b^2=5^2（I）

因双曲线经过点(4√2,3)
则(4√2)^2/a^2-3^2/b^2=1（II）

注意到a^2<25，b^2<25
由（I）（II）解得a^2=16，b^2=9
所以所求双曲线方程为x^2/16-y^2/9=1