为什么不定积分中的x必须大于0?
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因为不妨默认其>0,此时得出一个原函数,显然,积分所得的原函数求导后得出被积函数,但求导时并未考虑正负性。 一般情况下求不定积分无需多次考虑,用我们老师的话说,就是考查不定积分考查的是思想,不是分类。
严格来说,必须讨论x的正负,所以正确的结果应该是:
所求=sgn(x)•(x>O时所求的结果)。(具体的细节见最后面的手稿照片)
其中sgn(x)是符号函数,它的取值如下:
x>0时,sgn(x)=1;
x<0时,sgn(x)=-1;
x=0时,sgn(x)=sgn(0)=0。
不定积分解释
根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
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