Question

已知数列an满足:a1=2,a(n+1)=3an+3^(n+1)-2^n

（1）设bn=(an-2^n)/3^n,证明bn为等差数列，并求an通项公式（2）求an前n项和Sn

Answer 1

(1)
a(n+1)=3an+3^(n+1)-2ⁿ
a(n+1)-2^(n+1)=3an+3^(n+1)-2ⁿ-2^(n+1)=3an+3^(n+1)-3×2ⁿ=3(an -2ⁿ) +3^(n+1)
[a(n+1)-2^(n+1)]/3^(n+1)=(an -2ⁿ)/3ⁿ +1
[a(n+1)-2^(n+1)]/3^(n+1)-(an-2ⁿ)/3ⁿ=1，为定值
(a1-2)/3=(2-2)/3=0
数列{(an-2ⁿ)/3ⁿ}是以0为首项，1为公差的等差数列
bn=(an-2ⁿ)/3ⁿ，数列{bn}是以0为首项，1为公差的等差数列
(an-2ⁿ)/3ⁿ=0+1×(n-1)=n-1
an=(n-1)×3ⁿ+2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=(n-1)×3ⁿ+2ⁿ
(2)
Sn=a1+a2+...+an=0×3+1×3²+2×3³+...+(n-1)×3ⁿ +(2+2²+...+2ⁿ)
令An=0×3+1×3²+2×3³+...+(n-1)×3ⁿ
则3An=0×3²+1×3³+...+(n-2)×3ⁿ+(n-1)×3^(n+1)
An-3An=-2An=3²+3³+...+3ⁿ-(n-1)×3^(n+1)
=9×[3^(n-1)-1]/(3-1) -(n-1)×3^(n+1)
=[(3-2n)×3^(n+1) -9]/2
An=[(2n-3)×3^(n+1)+9]/4
Sn=An+(2+2²+...+2ⁿ)
=[(2n-3)×3^(n+1)+9]/4+ 2×(2ⁿ-1)/(2-1)
=[(2n-3)×3^(n+1)+2^(n+3) +1]/4