Question

一道初三的数学题，求解！

2014年春晚上，一位叫小彩旗的姑娘在原地自转了四个多小时，细心的小明发现小彩旗的裙摆顶端的连线近似为一条抛物线，现在我们将小彩旗顺时针旋转90°，以小彩旗为x轴、地面为y轴建立如图所示的直角坐标系，设抛物线解析式为y=-x²+bx+c。由资料可知小彩旗身高为170cm（即OA=170cm），头发长为80cm（即AB=80cm），现求：一.抛物线解析式；二.x轴上方小彩旗的裙摆离她本身的最远距离；三.已知小彩旗的头发与她本身夹角近似为30°（即∠OAB=30°），点P为x轴上方抛物线上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标。

Answer 1

一.由题意易知抛物线过O(0,0)和A(170,0)点，代入方程易知b=170，c=0
∴抛物线方程为y=-x^2+170x

二.不管是用求导的方法还是用几何的方法可以知道x=85时达到最高点，此时y=7225(cm)，也就是大约72米。

三.ABP是直角三角形时有三种情况，①A是直角；②B是直角；③P是直角
①A是直角时
直线AP与AB垂直，方程为y=-x*sin60°+170*sin60°，与抛物线方程联立，容易解得x=0或sin60°
一个解即为A点，另一解即为所求P坐标（sin60°，170*sin60°-3）【注：根号三换成sin60°】
②B是直角时
首先得到B坐标为(170-40*sin60°，-40）
直线BP与AB垂直，方程为y=-x*sin60°+170*sin60°-160，等于是AP向下平移了160cm
同理与抛物线联立得(x-sin60°)(x-170)=160
从这个方程的形式可以看出，该方程在x＜sin60°和x＞170各有一个解，而且BP和x轴的交点在0点右侧，所以在抛物线的上半部分一定有一个满足B为直角的P点，下侧的不太满足题意，想不想要随你便。又考虑到小明TMD在逗人玩，这个难解的方程就交给他自己解吧
③P是直角时
根据几何关系可知，以AB为直角边的直角三角形顶点P的轨迹是除去AB两点之外以AB为直径的一个圆，那么P要想满足题意，就必须同时在这个圆和抛物线上。
容易得到，以AB为直径的圆的方程为(x+20*sin60°-170)^2+(y+20)^2=40^2
和抛物线方程联立，消去y就可以得到关于x的高次方程，由于我们知道这个圆与抛物线已经有一个交点A(170,0)，根据曲率的关系可知抛物线在A点附近的曲率远小于圆在A点附近的曲率，也就是说圆在A点附近的弯曲程度远大于抛物线，这就表明以AB为直径的圆会完全被抛物线“包”住，即圆与抛物线只在A点相切，也便没有第二个交点。细致的分析还表明抛物线要想曲率比圆大，x要在x=85cm附近，而此时小彩旗的裙摆早就和以AB为直径的圆离了十万八千毫米的数量级，根本不会相交。所以在这种情况下，满足条件的P点不存在。

Answer 2

这个我不算了，就给你分析下。
第一问：抛物线过（0，0）点和（170，0）点，分别代入解析式能求出b，c。所以解析式有了。
第二问：这个最远距离就是求的抛物线顶点离X轴的距离，y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式是
（-b/2a，（4ac-b²）/4a)，直接可以通过第一问的解析式来求。
第三问，第一种：∠A=90°，∠OAB=30°，所以∠OAP=60°。所以直线AP的斜率有了，又过A点，直接可以求出来了。
第二种：∠B=90°,直接把x=170-80=90，代入简析式，可以求的P坐标。
第三种：∠P=90°,AB为直角边，过直径AB做圆，圆与抛物线的交点就是点P，你会发现点P与A重合。所以这个排除。