Question

P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点，设T=PA+PB+PC，求证1.5小于T小于2

Answer 1

证明：

2T=(PA+PB)+(PB+PC)+(PC+PA)>AB+BC+CA=3

∴T>1.5

下边证明PA+PB+PC<2AB即可证出T<2

过P点作BC边的平行线EF，分别交AB、AC于E、F ．

∵ΔABC为等边三角形，

∴∠AFE＝∠ABC＝60°，

又∵∠APE＞∠AFE，∴∠APE＞60°．

在ΔAEP中，∵∠APE＞∠AEP，∴AE＞AP．

∵ΔAEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF．

∵AE＞AP，BE＋EP＞BP，PF＋FC＞PC，

∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC，

即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC，

∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2AB=2

即1.5<T<2

得证。

Answer 2

证明：
2T=(PA+PB)+(PB+PC)+(PC+PA)>AB+BC+CA=3
∴T>1.5
下边证明PA+PB+PC<2AB即可证出T<2
过P点作BC边的平行线EF，分别交AB、AC于E、F
．
∵ΔABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ABC＝60°，
又∵∠APE＞∠AFE，∴∠APE＞60°．
在ΔAEP中，∵∠APE＞∠AEP，∴AE＞AP．
∵ΔAEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF．
∵AE＞AP，BE＋EP＞BP，PF＋FC＞PC，
∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC，
即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC，
∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2AB=2
即1.5<T<2
得证。