Question

P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,设L=PA+PB+PC.求证：1.5

Answer 1

设P到ABC三边的距离分别为X Y Z
1/2*(X+Y+Z)*1=1/2*1*√3/2
所以 X+Y+Z=√3/2
过P做PB'//AC 交AB于B'
过P做PC'//AB 交AC于C'
过P做PE⊥AB,交AB于E,PE=X
过P做PF⊥AC,交AB于F,PF=Y FC'=Y/√3,AC'=PB'=2X/√3
PA=√(Y^2+(Y/√3+2X/√3)^2)=√(4/3*(X^2+XY+Y^2))
2XY≤X^2+Y^2
3X^2+3Y^2+4XY+2XY≤3X^2+3Y^2+4XY+X^2+Y^2
3(X+Y)^2≤4(X^2+Y^2+XY)
PA≥(X+Y)
PA+PB+PC≥2(X+Y+Z)=√3>3/2
由于P点在三角形内,X,Y,Z均>0,
PA=√(4/3*(X^2+XY+Y^2)) BC
PC + PA > AC
左边右边全部相加得
2(PA + PB + PC)> AB + BC + AC
又AB=BC=AC=1,AB+BC+AC=3
所以
2(PA + PB + PC)> 3
两边除2
PA+PB+PC>(3/2)
另外P点有可能在△ABC边界上,当P点与A或B或C重合时
PA+PB+PC取最大值2
但条件中说明P点在△ABC内部,从而PA+PB+PC＜2
综上3/2