Question

求函数f(x)

设函数f(x)=√3/2cosx+1/2sinx+1(1)求函数f(x)的值域和函数的单调区间(2)当f(∝)=9/5,且丌/6<∝<2丌/3时,求sin(2∝+2丌/3)的值,要求详细过程

Answer 1

(1) f(x)=√3/2*cosx+1/2*sinx+1
=sin(x+π/3)+1
∵-1≤sin(x+π/3)≤1，∴0≤sin(x+π/3)+1≤2
即0≤f(x)≤2，也即f(x)的值域为[0,2]
令-π/2+2kπ≤x+π/3≤π/2+2kπ，得：-5π/6+2kπ≤x≤π/6+2kπ
∴f(x)的单调递增区间为[-5π/6+2kπ，π/6+2kπ] (k∈Z)
令π/2+2kπ≤x+π/3≤3π/2+2kπ，得：π/6+2kπ≤x≤7π/6+2kπ
∴f(x)的单调递减区间为[π/6+2kπ，7π/6+2kπ] (k∈Z)
(2) f(∝)=sin(∝+π/3)+1=9/5，∴sin(∝+π/3)=4/5

而∵π/6<x<2π/3，∴π/2<∝+π/3<π，∴cos(∝+π/3)<0

∴cos(∝+π/3)=-√[1-sin²(∝+π/3)]=-3/5

∴sin(2∝+2π/3)=sin[2(∝+π/3)]
=2sin(∝+π/3)cos(∝+π/3)
=2×(4/5)×(-3/5)
=-24/25

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Answer 2

(1)f(x)=f(-x),f(x)为偶函数

(2)x>0时，f(x)=x^2lnx,f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1)，所以x>e^(-1/2)，f'(x)>0,即f(x)单调增加， 0<x<e^(-1/2),f'(x)<0,即f(x)单调减少
x<0时，f(x)=x^2ln(-x),f'(x)=2xln(-x)+x=x(2ln(-x)+1),所以-e^(-1/2)<x<0,f'(x)>0,即f(x)单调增加，
x<-e^(-1/2),f'(x)<0,即f(x)单调减少
(3)令g(x)=kx-1,则g(x)恒过点(0,-1)，要使得f(x)=kx-1在(0，+无穷大)上有实数解，则g(x)与f(x)相切或相交，那么分析相切情况，即过点(0,-1)且与f(x)相切。设(x0,y0)为f(x)上一点则过(x0,y0)切线方程为y=(2x0lnx0+x0)x-x0^2lnx0-x0^2,将(0,-1)带入解得x0=1，所以切线方程为y=x-1，说明当k=1，f(x)=kx-1在(0，+无穷大)有一个实数解。再分析f(x)的图像，f(x)在x>0时取得最小值f(e^(-1/2))=-1/(2e)。0<x<e^(-1/2),f(x)单调减少，所以0<x<e^(-1/2)，0>f(x)>-1/(2e);
x>e^(-1/2),f(x)>-1/(2e)，根据图形可知k>1时，g(x)必与f(x)相交，即f(x)=kx-1在(0，+无穷大)有实数解。综上可知k>=1
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