Question

高数积分区间对称的问题

这道题目是不是这么考虑 这是一个母线平行于Z轴的区域 那么它的外侧投影到YOZ面由于对称相反所以为0 不需要考虑红箭头所指的y^2 是吗

Answer 1

简单的可以这样子理解，将y换为-y，但是积分函数，区域都没有变化，只是方向相反了，于是就有初始积分F1和变换之后的积分F2的关系有F1 = -F2，又F1和F2是同一个积分变换的也就是F1 = F2
可以解的F1 = F2 = 0，似乎说着反而复杂了。
或者可以用对称性来理解，每一处y都能找一个-y来与其抵消，大小相等，方向相反，最后得到0。

追问

那y^2换做别的函数呢 ，怎么考虑，可以帮我归纳一下吗，这一类的题目碰到好多，就是不懂，好急啊

追答

对称的才行，比如y的偶次幂，x的偶次幂，z的偶次幂，而且要积分区域也要对称。这些都是特例而已，知道就好了。还是好好记其他的更有用些，特例只是在考试中多一点额

追问

我现在就是要考试了 期末考试了 帮忙吧 那如果是单个x,y,z 或者x+y怎么考虑

追答

你试试看看积分变换，当然注意看积分区间对称的那类积分，变换的方式一般是x->-x之类的，变换之后就可以看到效果。