Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC=2,点P在BC上。若点P为BC的中点,则m=

如图,在三角形ABC中,AB=AC=2,点P在BC上。若点P为BC的中点,则m=AP^2+BP*CP.若BC边上有100个不同的点P1、P2••••••P100，且mi=AP^2+BPi*CPi(I=1,2,3••••••100），则m=m1+m2+m3+••••••m100的值为___

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC
∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（3分）

（2）如图所示：
成立，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①
在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2②
①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；

（3）如图所示：
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，
∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，
∴AP2-AB2=BP•CP．
结论：AP2-AB2=BP•CP．