Question

数列｛an}中，a1=2,an+1=an+cn(c是常数，n=1,2,3...)，且a1,a2a3成公比不为1的等比数列

（1）求c的值（2）求｛an｝的通项公式
谢谢！

Answer 1

1
a1=2，a2= a1+c=2+c，a3=a2+2c=2+c+2c=2+3c.
因a1,a2,a3成公比不为1的等比数列，所以a2^2=a1*a3,
即(2+c)^2=2*(2+3c).
整理得：c^2-2c=0，c（c-2）=0.
所以c=0或c=2.
因公比不为1，舍去c=0，于是有c=2.
2
an+1=an+2n
an+1-an=2n
a2-a1=2*1
a3-a2=2*2
…
an-an-1=2*(n-1)
左右两边分别相加：
左边＝an-a1
右边＝2*(1+2+..+n-1)
=n*(n-1)
所以an-a1=n*(n-1)
an= n*(n-1)+2
a1=2也满足an
所以an= n*(n-1)+2

Answer 2

A(n+1)=An+c*n
A2=A1+c
A3=A2+2c
所以
A2=2+c
A3=A1+3c=2+3c
又因为A1,A2,A3成等比
所以
2*(2+3c)=(2+c)^2
c=0或者c=2
当c=0时,显然公比为1，舍去
所以
c=2

此时A(n+1)=An+2n
所以用错位相减法
A1=2
A2=2+1*2
A3=A2+2*2=2+1*2+2*2
以此类推
所以
An=2+1*2+2*2+3*2+……(n-1)*2
An=2+n(n-1)*2/2
所以
An=n*n-n+2