Question

大学微积分二阶导数题目

Answer 1

t - ∫<1, x+t>e^(-u^2)du = 0, t=0 时 ∫<1, x>e^(-u^2)du = 0，得 x=1
两边对 t 求导，得 1 - (1+dx/dt)e^[-(x+t)^2]=0,
解得 dx/dt = 1/e^[-(x+t)^2] -1 = e^[(x+t)^2] -1, (dx/dt)<t=0，x=1> = e-1
则 d^2x/dt^2 = 2(x+t)(1+dx/dt)e^[(x+t)^2] = 2(x+t)(1+dx/dt)e^[(x+t)^2]
得 (d^2x/dt^2) <t=0, x=1, dx/dt=e-1> = 2e^2 ， 选 D。

Answer 2

令t=0,代入方程，
得x(0)=1 (1)
两边对t求导
1-e^(-(x+t)^2)(x'+1)=0 (2)
令t=0，代入上式，并利用(1)
1-e^(-1)(x'(0)+1)=0 (3)
解得x'(0) = e-1 (4)
再对（2）求导
2e^(-(x+t)^2)*(x+t)*(x'+1)^2-e^(-(x+t)^2)x"=0 (5)
将t=0,(1),(4)代入（5）
2e^(-1）*e^2 - e^(-1)*x"(0)=0 (6)
解得
x"(0) = 2e^2