Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上） （1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为 　 　 ；②当AC=3，BC=4时，AD的长为 　 　 ；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）① 。 ② 或 。 （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似。理由如下： 如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q， ∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B。 由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°， ∴∠DCB+∠CFE=90°。 ∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A。 又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA。

（1）若△CEF与△ABC相似． ①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示， 此时D为AB边中点，AD= AC= 。 ②当AC=3，BC=4时，有两种情况： （I）若CE：CF=3：4，如答图2所示， ∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC。 由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5。 ∴cosA= 。∴AD=AC?cosA=3× = 。 （II）若CF：CE=3：4，如答图3所示． ∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B。 由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°。 又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD。 同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD。∴AD=BD。 ∴此时AD=AB= ×5= ． 综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为 或 。 （2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似。