Question

已知函数f（x）=2lnx-ax 2 +1（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x）得最大值；（2）令g（x）=f（

已知函数f（x）=2lnx-ax 2 +1（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间及f（x）得最大值；（2）令g（x）=f（x）+x，若g（x）在定义域上是单调函数，求实数a得取值范围；（3）试比较 2 ln2 + 2 ln3 +…+ 2 lnn 与 3 n 2 -n-2 n(n+1) （n∈N，n≥2）得大小．

Answer 1

（1）当a=1时，f′（x）= 2 x -2x= -2(x+1)(x-1) x （x＞0）， 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减， 所以函数f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）， 且当x=1时f（x）取得最大值f（1）=0； （2）g（x）=2lnx-ax 2 +1+x，g′（x）= 2 x -2ax+1= -2a x 2 +x+2 x （x＞0）， 若g（x）在定义域上单调递增，则g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即-2ax 2 +x+2≥0恒成立， 也即2a≤ 2 x 2 + 1 x 恒成立，而 2 x 2 + 1 x = 2( 1 x + 1 4 ) 2 - 1 8 ＞0， 所以2a≤0，即a≤0； 若g（x）在定义域上单调递减，则g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2a≥ 2 x 2 + 1 x 恒成立， 因为 2 x 2 + 1 x = 2( 1 x + 1 4 ) 2 - 1 8 ＞0，所以此时不等式g′（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立， 综上，a的取值范围是a≤0； （3） 2 ln2 + 2 ln3 +…+ 2 lnn ＞ 3 n 2 -n-2 n(n+1) （n∈N，n≥2），证明如下： 由（1）知2lnx-x 2 +1≤0，即2lnx≤x 2 -1（x=1时取等号）， 则当x＞1时， 2 x 2 -1 ＜ 1 lnx ， 所以n≥2时， 1 lnn ＞ 2 n 2 -1 = 1 n-1 - 1 n+1 ， 所以 1 ln2 ＞1- 1 3 ， 1 ln3 ＞ 1 2 - 1 4 ， 1 ln4 ＞ 1 3 - 1 5 ，…， 1 lnn ＞ 1 n-1 - 1 n+1 ， 以上各式相加得， 1 ln2 + 1 ln3 + 1 ln4 +…+ 1 lnn ＞1- 1 3 + 1 2 - 1 4 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 n-1 - 1 n+1 =1+ 1 2 - 1 n - 1 n+1 = 3 n 2 -n-2 2n(n+1) ， 所以 2 ln2 + 2 ln3 +…+ 2 lnn ＞ 3 n 2 -n-2 n(n+1) ．