如图E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形.(2
如图E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形.(2)若AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH为菱形...
如图E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形.(2)若AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH为菱形,试证明你的结论.(3)求证:AC∥平面EFGH.
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(1)证明:连接BD,因为EH是△ABD的中位线,
所以EH∥BD,且FG=
BD,
同理,FG∥BD,且FG=
BD,
因为EH∥FG,且EH=FG,
所以,四边形EFGH为平行四边形.
(2)解:AC=BD时,四边形EFGH为菱形.
证明:由(1)知四边形EFGH为平行四边形,且FG=
BD,
∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF=
AC,∵AC=BD,∴EF=FG,
∴四边形EFGH为菱形.
(3)证明:∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF∥AC,
∵AC不色含于平面EFGH,EF?平面EFGH,
∴AC∥平面EFGH.
所以EH∥BD,且FG=
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同理,FG∥BD,且FG=
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因为EH∥FG,且EH=FG,
所以,四边形EFGH为平行四边形.
(2)解:AC=BD时,四边形EFGH为菱形.
证明:由(1)知四边形EFGH为平行四边形,且FG=
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∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF=
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∴四边形EFGH为菱形.
(3)证明:∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF∥AC,
∵AC不色含于平面EFGH,EF?平面EFGH,
∴AC∥平面EFGH.
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