Question

如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC所在平面上一点，且∠BPC=135°，连接PA．（1）当点P

如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为△ABC所在平面上一点，且∠BPC=135°，连接PA．（1）当点P在△ABC外时（如图①），求证：PA-PB=2PC．（2）当点P在△ABC内时（如图②），过点C作CD⊥PA，垂足为D，设BP的延长线交CD于E，若AD=8，CE=5，求PB的长．

Answer 1

解答：（1）证明：过点C作CF⊥CP交BP的延长线于点F
∵∠BPC=135°，∴∠CPF=∠F=45°，
∴CP=CF，
∵∠ACB=∠PCF=90°，
∴∠ACB+∠BCP=∠PCF+∠BCP，
即∠ACP=∠BCF，
在△CAP和△CBF中，

AC=CB ∠ACP=∠BCF CP=CF

，
∴△CAP≌△CBF（SAS），
∴AP=BF，
在Rt△CPF中，
cos∠CPF=

CP

PF

=

2

2

，
∴PF=

2

CP，
∴AP=

2

CP+PB，
即PA-PB=

2

PC；

（2）解：过点C作CG⊥CP交BP的延长线于点G，连接AG
∵∠BPC=135°，∴∠CGP=∠CPG=45°，
∴CP=CG，
∵∠ACB=∠PCG=90°，
∴∠ACB-∠ACP=∠PCG-∠ACP，
即∠BCP=∠ACG，
在△BCP和△ACG中，

BC=AC ∠BCP=∠ACG CP=CG

，
∴△BCP≌△ACG（SAS），
∴AG=BP∠CGA=∠BPC=135°，
∴∠AGP=90°，
在Rt△AGP中，AG²+PG²=AP²，
即PB²=AP²-2CP²，
作CH⊥PG交PG于点H，交AP于点K，
∴GH=PH，又∵KH∥AG，
∴△PHK∽△PGA，
∴

PH

PG

=

PK

PA

，∴AK=KP，
∵∠HPC=45°，∴CH=HP，
在△CHE和△PHK中，

∠CEH=∠PKH ∠EHC=∠KHP CH=HP

，
∴△CHE≌△PHK（AAS），
∴KP=CE=5，
∴AP=10，又∵AD=8，∴DP=2，KD=3，
∵△PDE∽△CDK，
∴

PD

CD

=

DE

DK

，∴

2

DE+5

=

DE

3

，
∴DE=1，∴CD=6，
在Rt△CDP中，CD²+DP²=CP²
CP=2

10

，
又∵PB²=AP²-2CP²
∴PB²=10²-2×（2

10

）²=20，
∴PB=2

5

．