如图,以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D,E是BC边的中点.若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的

如图,以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D,E是BC边的中点.若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根,则图中阴影部分的面积为43-43π43-... 如图,以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D,E是BC边的中点.若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根,则图中阴影部分的面积为43-43π43-43π. 展开
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清丽又舒心丶长颈鹿9744
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解答:解:x2-6x+8=0,
(x-2)(x-4)=0,
∴x-2=0,x-4=0,
解得x1=2,x2=4,
∴AD=2,AB=4,
∵AB是直径,
∴AO=BO=
1
2
AB=2,
连接OD,则AO=OD=AD=2,
∴△AOD是等边三角形,
连接BD,则BD⊥AC,
∵E是BC边的中点,
∴DE=BE=
1
2
BC,
连接OE,则OE是线段BD的垂直平分线,
在Rt△AOD中,BD=
AB2+AD2
=
42?22
=2
3

∵∠A=∠A,∠ADB=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△ADB,
BC
BD
=
AB
AD

BC
2
3
=
4
2

解得BC=4
3

BE=
1
2
BC=2
3

∴S四边形OBED=2S△OBE=2×
1
2
×2×2
3
=4
3

又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°,
∴S扇形BOD=
120°?π?22
360°
=
4
3
π,
∴阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形BOD=4
3
-
4
3
π.
故答案为:4
3
-
4
3
π.
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