如图,以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D,E是BC边的中点.若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的
如图,以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D,E是BC边的中点.若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根,则图中阴影部分的面积为43-43π43-...
如图,以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D,E是BC边的中点.若AD、AB的长是方程x2-6x+8=0的两个根,则图中阴影部分的面积为43-43π43-43π.
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解答:解:x2-6x+8=0,
(x-2)(x-4)=0,
∴x-2=0,x-4=0,
解得x1=2,x2=4,
∴AD=2,AB=4,
∵AB是直径,
∴AO=BO=
AB=2,
连接OD,则AO=OD=AD=2,
∴△AOD是等边三角形,
连接BD,则BD⊥AC,
∵E是BC边的中点,
∴DE=BE=
BC,
连接OE,则OE是线段BD的垂直平分线,
在Rt△AOD中,BD=
=
=2
,
∵∠A=∠A,∠ADB=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△ADB,
∴
=
,
即
=
,
解得BC=4
,
BE=
BC=2
,
∴S四边形OBED=2S△OBE=2×
×2×2
=4
,
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°,
∴S扇形BOD=
=
π,
∴阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形BOD=4
-
π.
故答案为:4
-
π.
(x-2)(x-4)=0,
∴x-2=0,x-4=0,
解得x1=2,x2=4,
∴AD=2,AB=4,
∵AB是直径,
∴AO=BO=
1 |
2 |
连接OD,则AO=OD=AD=2,
∴△AOD是等边三角形,
连接BD,则BD⊥AC,
∵E是BC边的中点,
∴DE=BE=
1 |
2 |
连接OE,则OE是线段BD的垂直平分线,
在Rt△AOD中,BD=
AB2+AD2 |
42?22 |
3 |
∵∠A=∠A,∠ADB=∠ABC=90°,
∴△ABC∽△ADB,
∴
BC |
BD |
AB |
AD |
即
BC | ||
2
|
4 |
2 |
解得BC=4
3 |
BE=
1 |
2 |
3 |
∴S四边形OBED=2S△OBE=2×
1 |
2 |
3 |
3 |
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°,
∴S扇形BOD=
120°?π?22 |
360° |
4 |
3 |
∴阴影部分的面积=S四边形OBED-S扇形BOD=4
3 |
4 |
3 |
故答案为:4
3 |
4 |
3 |
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