Question

已知数列{an}为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2?a5=a1?a14．令bn＝1an?an

已知数列{an}为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2?a5=a1?a14．令bn＝1an?an+1，数列{bn}的前n项和为Tn．（1）求an及Tn；（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵a₅和a₇的等差中项为11，∴a₆=11，又a₂?a₅=a₁?a₁₄．
可得

a1+5d＝11 (a1+d)(a1+4d)＝a1(a1+13d)

，又公差d≠0，解得

a1＝1 d＝2

∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
∴bn＝

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)．
∴T_n=

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]=

1

2

(1?

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（2）假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2＝

1

3

?

n

2n+1

．
①当m=2时，化为