Question

用中值定理证明不等式 x/1＋x＜ln（1＋x）＜x （x＞0）

Answer 1

设f(x)＝lnx.
存在一实数ξ∈(1, 1+x),则
f'(ξ)＝1/ξ.
依拉格朗日中值定理得
f(1+x)-f(1)＝f'(ξ)·[(1+x)-1]
→f'(ξ)＝1/ξ＝[ln(1+x)-ln1]/x.
∴ξ＝x/ln(1+x).
∴1<x/ln(1+x)<1+x
→1/(1+x)<[ln(1+x)]/x<1
→x/(1+x)<ln(1+x)<x (其中x>0)
故原不等式得证。