Question

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC． （1）求证：MN是半圆的切线．（2）

如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC． （1）求证：MN是半圆的切线．（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠CAB=90°，而∠MAC=∠ABC，则∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根据切线的判定即可得到结论； （2）连AD，根据圆周角定理推论得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，则∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，又D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用对顶角相等易得∠1=∠2，则有FD=FG． 试题解析：（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°， 而∠MAC=∠ABC， ∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°， ∴MN是半圆的切线； （2）解：如图 ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 而DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°， ∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA， ∴∠3=∠5， ∴∠1=∠4， 而∠2=∠4， ∴∠1=∠2， ∴FD=FG． 考点: 1.切线的判定；2.圆周角定理．