Question

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC

以△ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE 的位置关系及数量关系。（1）如图（1）当△ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是____，线段AM与DE的数量关系是____；（2）将图（1）中的等腰Rt△ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ°（0<θ<90）后，如图（2）所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

Answer 1

解：（1）AM⊥DE，AM= DE；
（2）结论仍然成立， 证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA 交DE于点P，连接BF， ∵DA⊥BA，EA⊥AF， ∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD， 在△FAB与△EAD中： FA=AE，∠BAF=∠EAD，BA=DA， ∴ △FAB≌△EAD（SAS）， ∴BF=DE，∠F=∠AEP， ∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEP=90°， ∴FB⊥DE， 又CA=AF，CM=MB， ∴AM∥FB且AM= FB， ∴AM⊥DE，AM= DE。