Question

在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1 ，a 4 ，a 8 成等比数列．（1）已知数列{a n }的前10项和为45，求数

在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1 ，a 4 ，a 8 成等比数列．（1）已知数列{a n }的前10项和为45，求数列{a n }的通项公式；（2）若 b n = 1 a n a n+1 ，且数列{b n }的前n项和为T n ，若 T n = 1 9 - 1 n+9 ，求数列{a n }的公差．

Answer 1

设等差数列{a n }的公差为d，由a 1 ，a 4 ，a 8 成等比数列可得， a 4 2 = a 1 ? a 8 ． 即 ( a 1 +3d ) 2 = a 1 ( a 1 +7d) ， ∴ a 1 2 +6 a 1 d+9 d 2 = a 1 2 +7 a 1 d ，而d≠0，∴a 1 =9d． （1）由数列{a n }的前10项和为45，得 S 10 =10 a 1 + 10×9 2 d=45 ， 即90d+45d=45，故d= 1 3 ，a 1 =3， 故数列{a n }的通项公式为 a n =3+(n-1)? 1 3 = 1 3 (n+8) ； （2） b n = 1 a n ? a n+1 = 1 d ( 1 a n - 1 a n+1 ) ， 则数列{b n }的前n项和为T n = 1 d [( 1 a 1 - 1 a 2 )+( 1 a 2 - 1 a 3 )+…+( 1 a n - 1 a n+1 )] = 1 d ( 1 a 1 - 1 a n+1 )= 1 d ( 1 9d - 1 9d+nd )= 1 d 2 ( 1 9 - 1 n+9 ) = 1 9 - 1 n+9 ． 故数列{a n }的公差d=1或d=-1．