Question

如图：平面直角坐标系中，已知A（﹣ ，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圆圆心为M，⊙M交y轴的负

如图：平面直角坐标系中，已知A（﹣ ，0），B（2，0），C（0，1），△ABC的外接圆圆心为M，⊙M交y轴的负半轴于D．①判断△ABC的形状，并说明理由．②点A是弧CD的中点吗？说明理由．③过y轴上一点N（0，m）作y轴的垂线l，当直线l与⊙M有公共点时，求m的取值范围．④在y轴上是否存在点P，使得四边形APBC是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：①△ABC为直角三角形，理由如下： 连接AC，BC，  ∵A（﹣ ，0），B（2，0），C（0，1），  ∴OA= ，OB=2，OC=1， ∴AB=OA+OB= ，即AB 2 = ， 在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC 2 =AO 2 +OC 2 = +1= ， 在Rt△BOC中，根据勾股定理得：BC 2 =BO 2 +OC 2 =4+1=5， ∴AC 2 +BC 2 = +5= =AB 2 ，  ∴△ABC为直角三角形；   ②A是弧CD的中点，理由为： ∵直径BA⊥弦CD， ∴A为 的中点；   ③如下图所示： 当过N的直线l在x轴上边与圆M相切时，圆心M到直线l的距离d=r， ∵AB= ， ∴AM=r= ，  ∴d= ， 即m= ； 当过N的直线l在x轴下边与圆M相切时， 圆心M到直线l的距离d=r， ∵AB= ，  ∴AM=r= ，  ∴d= ， 即m=﹣ ， 则当直线l与⊙M有公共点时，m的取值范围为﹣ ≤m≤ ；   ④在y轴上存在点P，使得四边形APBC是梯形， 过点B作BP 1 ∥AC，交y轴于点P 1 ，  ∴∠ACP 1 =∠BP 1 C，∠CAO=∠OBP 1 ， ∴△AOC∽△BOP 1 ，  ∴ = ， 即OP 1 = =4，  ∴P 1 坐标为（0，﹣4）； 过点A作AP 2 ∥BC，交y轴于点P 2 ，  ∴∠AP 2 O=∠BCO，∠OAP 2 =∠OBC， ∴△BOC∽△AOP 2 ，  ∴ = ， 即OP 2 = = ， ∴P 2 坐标为（0，﹣ ）． 则在y轴上存在点P（0，﹣4）或（0，﹣ ），使得四边形APBC是梯形．