Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10分别交x轴、y轴于A、B两点，过点N（8，4）的直线分别交x轴、y轴于

如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+10分别交x轴、y轴于A、B两点，过点N（8，4）的直线分别交x轴、y轴于C、D，CD⊥AB．（1）求直线CD解析式．（2）把△AOB沿x轴正方向平移得到△EFG，当点E平移到点C处停止移动，设移动的路程为m，直线CD在EFG内所截得的线段长为L，求L与m的函数关系式．（3）在（2）的条件下，若四边形DEFN为梯形，求梯形DEFN的面积．

Answer 1

（1）由题意可得A（-5，O），B（0，10） ∴tan∠ABO= 1 2 ， ∵CD⊥AB， ∴∠ABO=∠DCO， ∴tan∠DCO= 1 2 ， 作NH⊥OC． ∴tan∠DCO= NH HC = 1 2 ， ∵N（8，4）， ∴NH=4，OH=8，HC=8， ∴OC=16， ∴C（16，0）， 设直线CD的解析式为y=kx+b， 则 8k+b=4 16k+b=0 ， 解得 k=- 1 2 b=8 ． ∴直线CD的解析式为y=- 1 2 x+8； （2）由题意可知AE=OF=m CE=21-m，CF=16-m ∵tan∠DCO= 1 2 ， ∴CP= 2 5 5 CE= 2 5 5 （21-m）， CQ= 5 2 CF= 5 2 （16-m）． ①当0＜m≤16（如图2） L=PQ=CP-CQ= 2 5 5 （21-m）- 5 2 （16-m）= 5 10 m+ 2 5 5 ； ②当16＜m＜21（如图3） L=CP= 42 5 5 - 2 5 5 m； （3）∵直线DN、直线EF交于点C 当四边形DEFN为梯形时，则有NF ∥ DE ∴ CN CD = CF CE ， ∵CN=4 5 ，CD=8 5 ， ∴ 4 5 8 5 = 16-m 21-m ， 解得m=11， ∵S 梯形DEFN =S △DOC -S △DOE -S △NFC ∴S=64-24-10=30， ∴若四边形DEFN为梯形，则梯形DEFN的面积为30．